《时间之问》第5周B 闰月的数字秘密:19年7闰

日期:2019-07-06编辑作者:风俗习惯

时间:2007-3-8 12:19:23 来源:不详

《时间之问》是一部作者和学生对话交流的“记录”,选取“时间”作为跨学科讨论的媒介,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国古代文化等不同学科,这些话题像一颗颗散落的珍珠,被“时间”这根主线串联起来。这里既可以遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等大科学家,也会发现庄子、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。

农历鸡年缘何闰六月

阴历的由来 古人把地球绕太阳一周为一“年”,年与年之间,非常容易界定,只要观察两个相邻年中出现白天最短的日期之间的间隔数就可以了。古人很早就发现,这个日期数为365天左右,即1年里应有365天。但“年”这个单位太大,不好用,“天”虽然很方便,但又太小,于是想办法在“年”与“天”中加一个计量单位。这就是所谓的“历法”。在两河流域,古人发现,在多数的年份里,月亮大约有12个盈亏,少数年份有13个的,故将1年粗粗地定为12个“月”。观察发现,月亮绕地球一周的周期为29.5天,为了取整,于是定大月为30天,小月29天,12个月共有354天,这样已经接近1年的365天了。但这样计算下来,比标准回归年少约11天,平均三年左右少一个月。为了符合“一年有365天”这一事实,故每三年左右加一个月。长期观测证明,这一方法仍然不够精确(用着用着就出现观测误差了),故又将“3年1闰”改为更精确的“19年7闰”。月亮又称“太阴”,故又称“阴历”,也称“农历”。这样,在没有现代钟表等计时工具的情况下,古人借助于自然现象,制订出了自己的历法。阴历的优点是:每月的15日必定是月圆之日。

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今年是农历鸡年,为何要闰六月呢?这还要从历法谈起。


农历是用我们民族古代历法排列日、月、年并提供有关数据的历书,距今已有四千多年的历史了。古时候,历法并不统一,各个国家、民族、部落都可以制定自己的历法。由于制法的依据不同,便产生了不同的历法,以月亮变化规律制定的历法,叫阴历,以太阳变化规律制定的历法,叫阳历。但我们现在使用的农历既不是纯阴历,也不是纯阳历,是一种非常科学的阴阳历,它经过了历代的使用、修改、充实而逐步完善的。

“那我们怎么去增加闰月呢?在哪一年加闰月呢?” 学生问道。

目前,公历是以地球绕太阳运行一周为一个回归年,总长度需时365.2422天;农历是以月球绕地球运行12圈即12个朔望月为一年,一个朔望月,长度时间为29.5306天,12个朔望月是354.3672天,比公历一个回归年要少将近10.88天,三年后就少了30多天,依此发展下去,就会导致气候颠倒,冬季就变成了夏天,还会造成“十冬腊月涨大水,冲得满地高粱头”。出现这种时序错乱的怪现象,使天时和历法不相符合。

“哦,这的确是个问题,比如增加了一个30天的闰月,可是还没有完全弥补33天的差距,还少3天。”

为了克服这一缺点,古人在天文观测的基础上,就找出来闰月的办法,保证了农历年的正月到三月为春季,四月到六月为夏季,七月到九月为秋季,十月到腊月为冬季,也同时保证了农历岁首在冬末春初。

“这可怎么处理,古人也碰到了这个棘手的问题了吧?他们是怎么解决的呢?”

这就是安排闰月的科学道理。农历三年逢一闰就是这么来的,但是三年一闰还剩余3天多时间,仍旧不够精确,于是便采用了五年二闰法。五年二闰法仍不够精确,便又采用八年三闰来补救,仍相差2天的时间。又经过历代长时间的观测天象,实践检验,最后确定了19年七闰法。这在阳历上19年是3939.60天,农历19年为6939.69天,两种历法在19年间只差0.09天,可以说相当精确了。

这个问题可不光是中国人遇到了,古希腊人、希伯来人都遇到过这个问题,这个问题折磨了古人几千年。因为他们也采用了阴阳混合历,就是每个月根据月亮的圆缺来决定,但是一年的长度又根据太阳的回归年来确定,这就要通过增加闰月来调和。阴历和阳历需要互相折中、互相协调,才有可能融为有机的一体。”

当然,闰月也不是随意安排的,它是有一定根据的。这里又需要介绍一下二十四节气。农历虽然以月亮每次圆缺为一个记时单位,即每个月的大致时间为29.5天左右。二十四节气却是由地球绕太阳旋转时在轨道上所处的位置确定的。这个轨道是360度的大圆圈,从零度起每转15度为一个节气。零度为春分,15度为清明,30度为谷雨……接着按立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰依次排列到360度,共二十四个节气。所以农历不是纯阴历,而是阴阳合历,利用二十四节气指导各季节的农事活动是很科学的。

如果把阳历比作太阳、而阴历比作月亮,那么这幅画里既有太阳又有月亮,就像阴阳混合历里既有阳历又有阴历,需要互相折中、互相协调,才有可能融为有机的一体。(from flickr 公开图片)

农历规定立春、惊蛰、清明等十二个为节气;雨水、春分、谷雨等十二个为中气,而且要求每月要有固定的中气。即雨水必须安排在正月,春分一定要安排在二月……冬至安排在十一月、大寒安排在腊月。这样一来,就出现了很不协调的问题。

“我印象里,每次加闰月好像很随机,没有什么规律。不像公历里面的闰年,总是在2月的最后加一天,农历的闰月不一定加在那个月,而且不一定哪一年有闰月。这个挺复杂的。” 学生说道。

因为公历地球绕太阳一周的时间是365天5小时48分46秒,12个中气之间的平均间隔约为30.5天,而农历月球绕地球一圈的时间只是29.5天,一个月要差1天,因此二十四节气在农历上的日期就不是固定的,要逐月推迟1天,一年累计就要推迟11天左右。由于农历大月只有30天,小月是29天,中气日期推迟到某个月末时,下个月就可能没有中气了。因此农历规定,凡排不出中气的月份,就是上个月的闰月。

“我们不妨从简单的开始考虑。先做一些粗线条的估计,然后再不断细化和优化。我想古人应该也是这么考虑的。先删繁就简试试看。”

今年为农历丁酉年,农历六月二十九日是大暑,到下个月中气就排不上了,得错后一个月才能出现,这个没有中气的月份就得安排闰月。所以今年农历鸡年就安排闰六月。

“好的,那我们开始吧。” 学生说到。

《中国科学报》 (2017-07-21 第8版 生活)

“可是在开始之前,先要确定两个最基本的数值,这两个数值分别是一个回归年的长度和一个朔望月的长度。因为这是两个最基本的量,而且基本上不随时间波动(至少在数百年间如此),只有确定了这两个数值的大小,才好进行闰月的计算。”

“那好。首先确定一年的长度。”

“一年的长度可以通过计算两个冬至时刻之间的时间来确定,也可以通过计算两个春分之间的长度来确定,总之是地球绕太阳一圈的时间。这个数值古人在春秋战国时期就已经估算到大约是365.25天,大约相当于每四年增加一天,当然这个数值后来经过了不断优化变得更加精确,目前的精确值是365.24219...天。历代天文学家不断优化这个值,以后我们再讨论这个数值是怎么计算来的。”

“那一个朔望月的长度呢?”

“这个就比较容易了。古人也发现一个月并不是整数天。”

月相的圆缺变化周期称为一个朔望月:29.5306天 (from Wikimedia)

“是怎么发现的呢?” 学生问到。

“古人发现月亮每29天或者30天就完成一次圆缺周期,每个月的十五或者十六刚好月圆,如果规定每个月都是是29天整,那下一个满月之日就会比“十五”提前半天到来,再下一个满月之日会提前到“十四”,这样满月之日就会越来越提前到来。”

“每过两个月,满月的日期就会提前一天?”

“对,12个月以后就提前了6天,也就是说初九、初十的时候月亮就圆了,这就严重偏离了历法。”

“只需一年就可以发现这个问题?”

“对。反过来也是,如果一个阴历月规定是30天整,那么满月之日就越来越推后到来,过了12个月,就要到这个月的“二十一”日左右才会看到月圆。”

“一年之内就有这么大的误差!那一定有问题。那古人怎么解决这个问题呢?” 学生问到。

“古人解决这个问题的时候遇到了一个困难,那就是如果一个阴历月不是整数天,那么如果这个月月圆时刻是在半夜,那么下一次月圆可能是在正午,而这时是看不到月亮的。”

“所以不能像测量一年的长度那样,直接测量一个朔望月的长度了!”

“你说的没错。但是古人立刻就想到了一个间接的方法。这方法有点像称一粒米的重量。单独称一粒米的重量是不现实的,那么可以称一碗米的重量,然后数一数有多少粒米,二者相除就得到了一粒米的重量。”

“那就测量很多个满月,然后用总共的天数除以满月的次数?” 学生猜到。

“对。连续测量比如100个月圆之间的日期数,比如是2953天,那么月亮的圆缺周期大约是29.53天。”

“我算算,2953天,大约是8年多。时间也不算太长,只要持续记录月圆就可以了,这个方法比较简单。”

“那我们有了这两个基本数值,一年大约是365.25天,一个月是29.53天。接下来我们就可以做下一步了,就是计算在哪一年当中来插入闰月。”

“好的。”

“我们先看一下12个阴历月就是29.53x12=354.36天,而1年是365.25,两者差了10.89天,三年就差了32.67天,比一个月还多,所以我们如果每3年就插入一个闰月(每个月平均是29.53天),可是这样还少3.14天。”

3年1闰,增加一个闰月后,仍有误差

“那可怎么办呢?”

“我们想想办法试试”,老师说,“例如把3年拉长3倍变成9年,阴历和阳历之间的时间差达到了10.89x9=98.01天,9年中需插入3个闰月(平均需要29.53x3=88.59天),这样误差就是98.01-88.59=9.42天。”

“对,这很容易理解,相当于把3年1闰的误差3.14天放大了3倍。”

“是的,但是我们知道每年阴历比阳历少了10.89天,和这个9.42天非常相近,有可能刚好把两者抵消,从而大大减少误差。”

“怎么抵消呢?”

“我们把9年变成8年,就少了10.89天,这样就很大程度上抵消了9.42天,也就是说不是9年3闰,而是8年3闰,误差就会大大减小。我们来验证一下:8年内阴历和阳历差了10.89x8=87.12天,而3个闰月如果按89天计算,这样8年中插入3个闰月,误差只有1天多。这误差已经是比9年3闰的误差小了很多了。”

“嗯。”

8年3闰:8个回归年vs. 99个朔望月,误差比3年1闰大大减少

“看来这种把时间等比拉长然后从分母里减去1年的方法可行,那我们继续吧。现在我们把3年拉长4倍变成12年,需插入插入4个闰月(29.53x4=118.12天),12年总共少了10.89*12-118.12=12.56天。在这个基础上,我们不要等到12年,而是到了11年就把4个闰月全部插完,11年4闰,这样11年总共差了10.89*11-118.12=1.67天。这样每11年的误差有1.79天,比起12年4闰的12.56天的误差也大大减少了。”

“嗯。我似乎有点明白了,我们可以继续这样,把插入闰月的周期同比拉长,看能不能找到更好的近似值。”

“对,就是这个思路。现在我们在11年插入4个闰月的基础上,继续翻倍,也就是22年增加8个闰月,同样误差加倍就是3.34天,也就是比正常日期少了3.34天。”

“让我看看,这个3.34天和最初的三年一闰少的那3.14天比较接近。”

“对,我们离春秋战国时期采用的历法只有一步之遥了。”

“啊哈!看出来了!我们把这22年8闰的误差3.34天全部归结到是其中的一个三年一闰的3.67天产生的,那么只要把22年8闰减去3年1闰,变成19年7闰,就可以用3.34去抵消3.14,这样误差就很小了!”

“很好,我们来验算一下”,老师说,“19年总共是6939.602天,插入7个闰月后,总共有19x12 7=235个朔望月,也就是6939.691天。这样每19年的误差只有不到0.1天!”

“真的非常小了。”

“是的,这对没有精准测量仪器的古人来说已经非常不错了。”

“19和235这两个数有什么特殊之处吗” 学生问到。

“19年里有12年是平年,每年12个月,另外7年是闰年,每年13个月,总共是235个月。我们可以构造出一幅漂亮的图形来代表这几个数字。首先最完美的图形是圆形,所以我们先画一个圆;其次六边形也是非常完美的形状,雪花和蜂巢都和六边形有关,所以在这个圆周围添加6个圆,总共就有了7个圆。这7个圆代表7个闰年,每年有13个月,所以我们在圆里写上数字13,这样我们就有了91个月。”

“那另外12个平年呢?”

“每个平年用一个写有数字12的圆表示,它们均匀地围绕着中心的6个圆,与之相切并两两相切,你会看到这12个圆和6个圆吻合和严丝无缝,最后外围这12个圆又和一个更大的圆相切,吻合得非常好(左图)。因为这12个圆表示平年,所以总共有144个月。144个月加上闰年的91个月,刚好是235个月!”

19和235的秘密图形:左图:19年中有7个闰年,表示为中心的一个圆和与之相切的6个圆,每个闰年13个月,所以有13x7=91个月;剩下12个平年表示为最外围的12个相切的圆,每个平年12个月,有12x12=144个月,加起来有91 144=235个月。右图:原理和布局与左图相同,都是中心一个圆,中间6个圆,外围12个圆,只是圆与圆之间不是相切,而是通过圆心相交 (右图from infinity-codes.net)

“真是完美!” 学生说道。

“还可以变得更美。第一个圆和它周围的6个圆如果不是相切的关系,而是相交,中间的圆的圆周通过这6个圆的圆心;此外,中间的6个圆的圆周也刚好经过外围的12个圆的圆心,那么就可以画出一个更美丽的图案出来!(右图)”

“没想到这么漂亮!对了,古人是怎么推导出19年7闰的呢?”

“一方面,古人通过大量数据的积累,可以进行一些猜测从而逼近实际的观测结果。另外一方面也有一些数学方面的计算方法。”

“有哪些方法呢?”

“很遗憾,具体的方法已经无法确切知道了,古人只留下了结果,而没有给出推导过程。我们只能够根据结果去猜测过程了。”

“真是很遗憾!”

“是的,这有点像考古发掘。比如我们挖掘到一直骨头做的笛子,知道远古之人曾经发明和使用过这样的乐器,但是古人是用什么方式做出来这样的笛子,以及笛子吹出来什么样的音乐,我们就只能猜测了。”

“那我们猜测古人是怎么推导出来的呢?” 学生问到。

“一种猜测是古人是用了一种分式不等式的方法来逼近这个结果的。”

“什么是分式不等式?” 学生很好奇。

“先看一个分式不等式的例子,例如1/2小于2/3,如果把1/2和2/3的分子部分相加,也就是1 2=3,作为新的分子,把分母部分相加2 3=5,作为新的分母,也就得到一个新的分式3/5,也就是0.6,而新的分式的大小刚好是处于1/2和2/3之间。”

“哦,这很简单。写成代数表达式就是,如果a/b 小于c/d,那么(a c)/(b d)介于a/b和c/d之间。”

“对,比方我们刚才的例子,4/11小于3/8,那么7/19就介于这两者之间。”

“可为什么刚好是7/19最接近实际呢?” 学生还是有些疑惑。

“这是个很好的问题!实际上这已经是关于数学的问题了。”

“是的。”

“正是。刚才我们说过地球绕太阳一周是365.25天,而月球绕地球一周是29.53天,那么也就意味着,当地球绕太阳一周的时候,月亮绕了地球12周多一些,但不到13周,确切说是绕了365.2422/29.5306=12.36826周,而这个数不是整数,也就是说用12个月来代表一年则少了10多天,而如果用13个月来表达一年又多出去将近20天。”

“所以只能折中一下,在有些年份用12个月,有些年份用13个月。”

“如果3年1闰,出现闰月的年份的比率是0.333,误差较大。
如果8年3闰,出现闰月的年份的比率是0.375,误差有所减少。
如果11年4闰,出现闰月的年份的比率是0.3636,误差继续减小。
如果19年7闰,出现闰月的年份的比率是0.3684,误差已经很小。
你有没有察觉出来一种趋势?”

“哦,我看到了,越来越趋近于12.36826的小数部分0.36826,而且是从上下两个方向逼近的。”

从3年1闰到8年3闰、11年4闰、19年7闰,数字从0.33333 一直逐渐逼近到0.36826:上下波动地趋近,而不是单边趋近

“对。我们无意中已经越来越趋近于一个固定的常数,而这个数字决定了我们在一段时间里要设置多少个闰月,而且知道了这个数值的大小,我们也就知道了每隔多少年,太阳、月亮和地球又会重新回到原来的相对位置,开始新的一轮循环。反过来,如果这个数值有所改变,那么我们的历法也要做调整了。”

“除了中国人还有其它国家的人推导出这个数值吗?”

“有,古巴比伦人很早以前就推导出了19年7闰。后来古希腊的天文学家默冬(Meton)于公元前431年宣布推导出来,因此19年7闰这个周期在西方又称为“默冬章”。中国人在公元前589年开始即已掌握19年7闰法则。”

“既然已经确定了19年里加7个闰月,那接下来,这7个闰月加在哪些年份的呢?”

“一般来说每隔2-3年就要设置一个闰月,古希腊人在这方面的设置没有统一的立法,每个城邦都有自己的方法。其中一个比较有规律的方法就是把闰年的设置固定到特定的年份。现在人们估计当时的默冬历法里,在19年的第3、第6、第8、第11、第14、第17、第19年里增加闰月。在有些希腊城邦里,闰月通常置于波塞德昂月之次月,即第二个波塞德昂月(闰6月),但在另外一些城邦闰月的设置是随意的。”

古希腊某些城邦的19年7闰:在固定的年份(第3、第6、第8、第11、第14、第17、第19年)增加闰月

“那古代中国人的闰月又插入到哪个月后面呢?” 学生问到。

“说到这一点,中国人提出的方法可以说独步于世界了。一开始中国人曾经采用过固定把闰月放在年底的方法,但是这种方法不能很好地调和月份和季节。后来到了公元前104年的汉朝,中国人找到一种更加巧妙的方法,并应用在当时的《太初历》里面,这种置闰方法一方面月份和季节非常符合,另一方面还非常简洁优雅!

“这是什么方法呢?”

未完,待续....


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关于作者:笔名偶遇科学,微电子学博士,喜欢探求事物背后的原因和不同学科的联系,寻求科学与人文的融合。求学和教学的经历让他收获了严谨的思辨精神,更让他明白了科学背后温情和人文不可或缺。每周他和学生在餐厅的固定约会,话题无所不包,一起发现科学、并享受思考的乐趣。


参考文献

  • 江晓原. 巴比伦—中国天文学史上的几个问题[J]. 自然辩证法通讯, 1990(4):40-46.
  • 徐松岩. 古希腊历法简述

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